Kısmi entegrasyon örnekleri

Kısmi entegrasyon, matematiksel analizde sıklıkla karşılaşılan bir yöntemdir ve genellikle karmaşık integrallerin çözümünde kullanılır. Bu yöntem, iki fonksiyonun çarpımının integralini alırken bir fonksiyonu türevleyip diğerini entegre ederek basit hale getirmeyi sağlar. Bu yazıda, kısmi entegrasyonun nasıl uygulanabileceğine dair örnekler üzerinden detaylı bir inceleme yapacağız.

Kısmi integrasyon soruları için aşağıdaki örnekler ve çözümler faydalı olabilir:

∫xcos(x)dx İntegrali:

∫0⁵xe⁻ˣdx Belirli İntegrali:

Polinom İçeren İntegraller:

• u = x ve dv = cos(x)dx olarak alınır. 
• du = dx ve v = sin(x) olur. 
• Kısmi integrasyon formülü uygulanır: ∫xcos(x)dx = xsin(x) - ∫sin(x)dx = xsin(x) + cos(x) + C. 

• u = x ve dv = e⁻ˣdx olarak alınır. 
• du = dx ve v = -e⁻ˣ olur. 
• Kısmi integrasyon: ∫0⁵xe⁻ˣdx = [−xe⁻ˣ]0⁵ - ∫0⁵-e⁻ˣdx = −e⁻⁵(6) + e⁰(1) = −6e⁻⁵ + 1. 

• P(x) bir polinom, α, β ∈ R ve m ∈ N için kısmi integrasyon, P(x)eⁿ⁺αx+β, P(x)sin(αx + β) ve P(x)cos(αx + β) tipindeki integrallere uygulanabilir. 

1. ∫xcos(x)dx İntegrali:
   • u = x ve dv = cos(x)dx olarak alınır. 
   • du = dx ve v = sin(x) olur. 
   • Kısmi integrasyon formülü uygulanır: ∫xcos(x)dx = xsin(x) - ∫sin(x)dx = xsin(x) + cos(x) + C. 
2. u = x ve dv = cos(x)dx olarak alınır. 
3. du = dx ve v = sin(x) olur. 
4. Kısmi integrasyon formülü uygulanır: ∫xcos(x)dx = xsin(x) - ∫sin(x)dx = xsin(x) + cos(x) + C. 
5. ∫0⁵xe⁻ˣdx Belirli İntegrali:
   • u = x ve dv = e⁻ˣdx olarak alınır. 
   • du = dx ve v = -e⁻ˣ olur. 
   • Kısmi integrasyon: ∫0⁵xe⁻ˣdx = [−xe⁻ˣ]0⁵ - ∫0⁵-e⁻ˣdx = −e⁻⁵(6) + e⁰(1) = −6e⁻⁵ + 1. 
6. u = x ve dv = e⁻ˣdx olarak alınır. 
7. du = dx ve v = -e⁻ˣ olur. 
8. Kısmi integrasyon: ∫0⁵xe⁻ˣdx = [−xe⁻ˣ]0⁵ - ∫0⁵-e⁻ˣdx = −e⁻⁵(6) + e⁰(1) = −6e⁻⁵ + 1. 
9. Polinom İçeren İntegraller:
   • P(x) bir polinom, α, β ∈ R ve m ∈ N için kısmi integrasyon, P(x)eⁿ⁺αx+β, P(x)sin(αx + β) ve P(x)cos(αx + β) tipindeki integrallere uygulanabilir. 
10. P(x) bir polinom, α, β ∈ R ve m ∈ N için kısmi integrasyon, P(x)eⁿ⁺αx+β, P(x)sin(αx + β) ve P(x)cos(αx + β) tipindeki integrallere uygulanabilir.